这也是小波理论登场的时候。顾名思义，小波就是一个“很小的波”。理论的基础是一个“母小波”(mother wavelet)，是振荡函数的一小部分。振荡的频率各有不同，同样地，小波的宽度也各有不同。但它们之间有着紧密的联系：频率越高，宽度越窄。

 

△ Meyer的小波。被压缩的小波(上)拥有更高的频率，被拉伸的小波(下)则频率更低。(图片来源：Abelprize.no)

通过改变母小波的尺度，可以产生女儿小波(daughter wavelets)，比如缩小(频率增高)、放大(频率降低)或移动。一个信号，比如我们讲话的声音，就可以用这一簇小波的组合来表示。这种分解可以使我们能够捕捉在信号中的重复信息，利用一系列逐渐缩小版本的母小波也使我们可以放大局域的不规则性(比如峰值)。

为了储存这样的一个信号分解，你只需要描述原来母小波的信息，以及不同女儿小波的贡献。它们就已经足够可以把原信号重新构建起来。

 

△ 傅里叶变换(上)和小波变换(下)。前者的变量只有频率ω，后者则有两个变量：尺度a(控制小波函数的伸缩)和平移量τ(控制小波函数的平移)。

小波理论的最初想法可以追溯到很早以前。数学家 Alfréd Haar 在一百年前就已经构建了小波的一个版本。Haar 的小波有一些漂亮的性质，但也有些不足。而 Meyer 在小波理论的发展中起到了关键作用，是他构建了小波理论的强有力的坚实数学基础。

 

△ 一些小波类型的例子： (a) Coif1；(b) db2；(c) Meyer；(d) Sym3；(e) Morlet；(f) Mexican.(图片来源：Krishna B)

Meyer 所作出的首个重大贡献是构造了具有光滑性的正交小波基。在 Morlet 构造的小波分析中，Meyer小波基中的所有函数都是通过平移和伸缩可以明确指定的单个光滑性“母小波”来生成。Morlet 所构造的小波尽管从本质上看非常基础，但却相当不可思议。随后，Stéphane Mallat 和 Yves Meyer 系统地发展了多分辨率分析理论，这是构造小波基的通用框架。

 

△ Yves Meyer。(图片来源：B. Eymann/Académie des Sciences)

在1980年代后期和1990年代初，信号处理迎来了“小波革命”，小波变换也被应用在了许多基本信号处理的任务上。例如，压缩(比如JPEG2000图像压缩格式)和去噪，以及更现代的应用(比如压缩传感)。FBI也是利用小波来储存指纹信息，否则就会占据大量的储存空间。

此外，Meyer的工作还推动了调和分析和偏微分方程式领域的重要理论发展，从证明Lipschitz曲线上柯西积分的有界性(由Coifman、McIntosh和Meyer解决)，到发展理解在偏微分方程的非线性效应不可缺少的新工具(比如补偿紧致等)。不仅如此，Meyer还在准晶体、奇异积分算子和纳维-斯托克斯方程式等课题作出了重要贡献。可以说，Meyer的工作和洞见不仅推动了纯数学和数学分析的应用方面的发展，还为二者之间架起了卓有成效的沟通桥梁。

Stéphane Mallat称他为“有远见的人”，他的工作不属于任何一个领域(比如纯数学、应用数学或计算机科学)，它只能用“神奇”来标签。

(责任编辑：安博涛)